9.2 发射、吸收与光电效应

来源： 考纲 §9 · 课堂笔记 §6.3.3（光电效应）

发射与吸收

原子中电子占据离散能级 $E_1,E_2,E_3,\dots$——它们不能取任意能量，只能停在某些「台阶」上。两台阶之间没有允许的状态。

• 吸收时，一个光子击中原子。只有当它的能量恰好等于两能级之间的间隙，才会被吞掉，电子跃迁到更高能级。
• 发射时，电子又落回较低能级，把差值作为一个光子放出。

从能级 $E_1$ 跃到 $E_2$ 时的能量守恒：

$$\mathrm{\Delta }E=E_2-E_1=h\cdot f$$

$\mathrm{\Delta }E\dots$ 两能级的能量差；$f\dots$ 吸收/放出光子的频率。

✎ 为什么是一条条分立的谱线，而不是一整条连续色带？ 因为只有特定的 $\mathrm{\Delta }E$ 被允许，按 $f=\mathrm{\Delta }E/h$ 也就只有特定的频率（颜色）。这些量子跃迁产生了每种元素特有的线状光谱——像一种「条形码」，据此可辨认元素（即便在遥远恒星上）。

计算示例（考纲明写：mit Rechenbeispielen！）

来源： Mappe 测验原题（约第 103–104 页）· 数值自行验算

原子物理中能量常用电子伏特（eV）——一个电子通过 $1$ V 电压差所获得的能量：

$$1\text{eV}=\mathrm{1,602}\cdot {10}^{-19}\text{J}$$

✎ 数量级感觉：可见光光子约 $1,6$–$3,1$ eV（红 → 紫）；紫外光子 $>3,1$ eV。

例 1（量子跃迁 → 光子）： 原子中一个电子从 $E_3=11,7$ eV 跃回 $E_1=9,15$ eV，放出一个光子。求其能量、频率与波长。

1. $\mathrm{\Delta }E=11,7-9,15=2,55\text{eV}=2,55\cdot \mathrm{1,602}\cdot {10}^{-19}\text{J}\approx 4,09\cdot {10}^{-19}\text{J}$
2. $f={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }E}{h}}={\displaystyle \frac{4,09\cdot {10}^{-19}}{\mathrm{6,626}\cdot {10}^{-34}}}\approx 6,2\cdot {10}^{14}\text{Hz}$
3. $\lambda ={\displaystyle \frac{c_0}{f}}={\displaystyle \frac{3\cdot {10}^8}{6,2\cdot {10}^{14}}}\approx 4,9\cdot {10}^{-7}\text{m}\approx 490\text{nm}$ —— 可见光（蓝绿）✓，与 $2,55$ eV 落在可见范围内自洽。

例 2（为什么日常感觉不到量子化？）： 功率 $P=1$ mW 的激光二极管发出频率 $f=6,22\cdot {10}^{14}$ Hz 的光子。每秒发出多少个光子？

$$E_{\gamma }=hf=\mathrm{6,626}\cdot {10}^{-34}\cdot 6,22\cdot {10}^{14}\approx 4,1\cdot {10}^{-19}\text{J},N=\frac{P\cdot t}{E_{\gamma }}=\frac{{10}^{-3}\cdot 1}{4,1\cdot {10}^{-19}}\approx 2,4\cdot {10}^{15}$$

每秒约 $2,4\cdot {10}^{15}$ 个光子——单份 $hf$ 如此之小，宏观上能量显得连续，量子化才会在日常中「隐形」。

光电效应（爱因斯坦 1905）

观测：紫外辐射从某个最小能量起能从（带负电的）锌板打出电子；可见（如红）光不能——即使强度很高。

学校实验（Hallwachs 实验）

来源： Mappe 约第 80、105 页 · 装置详见主题 13

把带负电的锌板装在验电器上，用紫外灯照射 → 锌板放电，验电器的金属指针/箔片落下（被打出的电子带走了负电荷）。

• 在灯与锌板之间插入一块玻璃板（玻璃吸收紫外）→ 效应停止：证明起作用的正是光中的紫外成分，而非可见光或热。
• ✎ 刁钻追问：带正电的锌板为什么不放电？ 光子照样能打出电子，但电子一离开就被板上的正电荷立刻拉回——验电器读数不变。所以演示必须用负电荷。

经典波动理论为何在此失效

要理解为何需要爱因斯坦的解释，先得看经典波动理论预言什么——以及它的每一条预言为何都与实验矛盾：

1. 经典上波把能量带在振幅里。 一列波的强度（单位面积、单位时间的能量）正比于振幅的平方：$I\propto A^2$。这本能量账里根本没有频率 $f$。
2. 预言 1（错）：若能量只取决于振幅，那么足够亮的红光（大振幅）就该和紫外光一样打出电子——只要够亮即可。但实验中红光无论强度多高都打不出电子。可见起作用的是频率而非亮度。
3. 预言 2（错）：****弱光下电子须慢慢从波中「攒够」能量——应当有可测的起振/等待时间。实际上即便最弱的紫外光，电子也几乎立即逸出。
4. 预言 3（错）：经典上更亮应给每个电子更多能量（更快）。实际上更亮只改变电子的数量，不改变其能量。

可见波动理论在三点上都被推翻。缺了某种根本的东西。

爱因斯坦的量子解释——逐步给出

爱因斯坦的想法：光不是连续波入射，而是以一个个光子入射，每个能量 $hf$。一个电子吞一个光子——全有或全无。

1. 单个光子把它的全部能量一次性给电子：$E_{\gamma }=hf$。（$E_{\gamma }\dots$ 光子能量；$h\dots$ 普朗克常数；$f\dots$ 光频率。）
2. 要把电子从金属中解放出来，须付出与材料有关的逸出功 $E_A$（把电子束缚在金属里的那份能量）。$E_A\dots$ 逸出功（亦称「脱出功」）。
3. 光子在解放电子后剩下的能量，化为飞出电子的动能 $E_{\text{kin}}$。能量守恒（「收到 = 消耗 + 剩余」）：

$$\boxed{{\displaystyle E_{\gamma }=h\cdot f=E_A+E_{\text{kin}}}}$$

4. 解出动能：

$$E_{\text{kin}}=hf-E_A$$

符号	含义
$E_{\gamma }=hf$	一个入射光子的能量
$E_A$	逸出功（把电子束缚在金属里；与材料有关）
$E_{\text{kin}}$	被打出电子的动能
$h$	普朗克常数 $=\mathrm{6,626}\cdot {10}^{-34}$ Js
$f$	光的频率

三种情形（比较 $E_{\gamma }=hf$ 与 $E_A$）

情形	条件	发生什么
1	$E_{\gamma }<E_A$	光子太「弱」→ 没有电子，无论来多少这样的光子（亮度无济于事）。
2	$E_{\gamma }=E_A$	光子刚好够 → 电子逸出，但 $E_{\text{kin}}=0$，即 $v=0$。这定义了极限频率 $f_{\text{极限}}=E_A/h$。
3	$E_{\gamma }>E_A$	多余的能量变成动能：$E_{\text{kin}}=hf-E_A$。

情形 3 中，可由 $E_{\text{kin}}=\frac{1}{2}{m}_e{v}^2$ 算出电子速度：

$$E_{\text{kin}}=\frac{1}{2}{m}_e{v}^2\Rightarrow v=\sqrt{\frac{2E_{\text{kin}}}{m_e}}$$

$m_e\dots$ 电子质量；$v\dots$ 电子逸出速度。

计算示例：锌板为什么「认」紫外、不「认」红光

锌的逸出功约 $E_A\approx 4,3\text{eV}\approx 6,9\cdot {10}^{-19}$ J。

入射光	频率 $f=c_0/\lambda$	光子能量 $hf$	与 $E_A$ 比较	结果
红光 $\lambda =700$ nm	$\approx 4,3\cdot {10}^{14}$ Hz	$\approx 2,8\cdot {10}^{-19}$ J $\approx 1,8$ eV	$<E_A$	无电子（情形 1）——亮度再高也不行
紫外 $\lambda =250$ nm	$\approx 1,2\cdot {10}^{15}$ Hz	$\approx 8,0\cdot {10}^{-19}$ J $\approx 5,0$ eV	$>E_A$	电子逸出（情形 3），$E_{\text{kin}}\approx 0,7$ eV

紫外情形下电子的速度（$E_{\text{kin}}\approx 0,66\text{eV}\approx 1,06\cdot {10}^{-19}$ J）：

$$v=\sqrt{\frac{2E_{\text{kin}}}{m_e}}=\sqrt{\frac{2\cdot 1,06\cdot {10}^{-19}}{9,11\cdot {10}^{-31}}}\approx 4,8\cdot {10}^5\text{m/s}$$

锌的极限频率：$f_{\text{极限}}=E_A/h\approx 1,04\cdot {10}^{15}$ Hz，对应 $\lambda \approx 290$ nm——已在紫外区。整个可见光（约 $1,6$–$3,1$ eV）都低于锌的 $4,3$ eV，所以对锌板只有紫外才行。

✎ 追问抗压：$E_{\text{kin}}=hf-E_A$ 给出的严格说是最大动能（课本完整写法：$hf=E_{\text{kin}}+W_A+W_S$）：来自金属深处的电子在路上还会因碰撞损失能量 $W_S$，飞出时更慢——爱因斯坦方程描述的是表面最快的那些电子。

为什么这能化解全部三个矛盾

• 频率阈值：低于 $f_{\text{极限}}$ 时 $hf<E_A$——单个光子打不出电子，而一个电子永远只吞一个光子，故再亮也没用。关键是每个光子的能量（= 频率 $f$），而非总强度。
• 立即逸出：整份光子能量在一次碰撞中到位——无需攒能量，故无等待时间。
• 亮度 vs. 能量：更亮 = 每秒更多光子 → 打出更多电子，但每个电子拿到的仍只是 $hf$。电子的数量取决于强度（= 光子数），但单个电子的动能只取决于 $f$。

✎ 凭此诠释（而非相对论），爱因斯坦获得诺贝尔奖。光电效应是光具有粒子性的第一个直接实验证据。